दो समान बेलन (प्रत्येक का द्रव्यमान $m$,घनत्व $\rho_0$,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $s$) संतुलन में हैं,जो चित्र में दिखाए अनुसार $\rho_1$ और $\rho_2$ घनत्व वाले तरल पदार्थों से भरे दो पात्रों में आंशिक रूप से डूबे हुए हैं। इस निकाय के संतुलन के इर्द-गिर्द छोटे दोलनों का आवर्तकाल ज्ञात कीजिए। पात्रों में तरल के स्तर में होने वाले परिवर्तनों की उपेक्षा करें। डोरियों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। गुरुत्वीय त्वरण $g$ है। ($v$ प्रत्येक ब्लॉक का आयतन है)।

दो कण,$1$ और $2$,प्रत्येक का द्रव्यमान $m$ है,एक द्रव्यमान रहित स्प्रिंग से जुड़े हैं और एक क्षैतिज घर्षण रहित तल पर हैं,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। प्रारंभ में,दोनों कण,जिनका द्रव्यमान केंद्र $x_0$ पर है,$a$ आयाम और $\omega$ कोणीय आवृत्ति के साथ दोलन कर रहे हैं। अतः,समय $t$ पर उनकी स्थितियाँ $x_1(t) = (x_0 + d) + a \sin \omega t$ और $x_2(t) = (x_0 - d) - a \sin \omega t$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $d > 2a$ है। $m$ द्रव्यमान का कण $3$,$u_0 = a \omega / 2$ की गति से इस प्रणाली की ओर बढ़ता है और समय $t_0$ पर कण $2$ के साथ तात्कालिक प्रत्यास्थ टक्कर करता है। अंत में,कण $1$ और $2$ एक द्रव्यमान केंद्र गति $v_{cm}$ प्राप्त करते हैं और समान कोणीय आवृत्ति के साथ $b$ आयाम से दोलन करते हैं।
$(1)$ यदि टक्कर समय $t_0 = 0$ पर होती है,तो $v_{cm} / (a \omega)$ का मान होगा
$(2)$ यदि टक्कर समय $t_0 = \pi / (2 \omega)$ पर होती है,तो $4b^2 / a^2$ का मान होगा

रिक्त स्थान भरें:
$1.$ यदि पृथ्वी के व्यास के अनुदिश एक सुरंग खोदी जाए और उसमें एक पिंड को मुक्त रूप से गिराया जाए,तो इस पिंड की गति ......... होती है,यदि उस पर माध्यम का कोई घर्षण बल कार्य न कर रहा हो।
$2.$ जब कोई पिंड सरल आवर्त गति करता है और $\frac{1}{2\pi}$ दोलन करता है,तो उसका कला (phase) ......... $rad$ बढ़ जाता है।
$3.$ सरल आवर्त गति करने वाले पिंड की कला प्रति सेकंड ......... बढ़ती है।
$4.$ दो स्प्रिंगों के बल नियतांकों का अनुपात $1:2$ है और उनकी यांत्रिक ऊर्जा का अनुपात $2:9$ है,तो स्प्रिंग के सिरों पर लटके दो पिंडों के आयामों का अनुपात ......... है।

दो दोलन प्रणालियाँ; एक सरल लोलक और एक ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली,पृथ्वी की सतह पर समान आवर्तकाल रखती हैं। यदि दोनों को चंद्रमा पर ले जाया जाए,तो-

$O$ के परितः $SHM$ कर रहे एक कण का आयाम $10 \, cm$ है। तो:

एक क्षैतिज बोर्ड $0.3 \ m$ के आयाम और $4 \ s$ के आवर्तकाल के साथ क्षैतिज रूप से सरल आवर्त गति कर रहा है। यदि बोर्ड पर रखे गए भारी पिंड को फिसलना नहीं है,तो बोर्ड और पिंड के बीच घर्षण का न्यूनतम गुणांक क्या होगा?